欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载)

本文索引

前言

Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces

在粗糙表面上折射的微表面模型

作者:Bruce Walter 、stephen R. Marschner 、Hongsong Li 、Kenneth E. Torrance

计算机图形学专业:康奈尔(Cornell)大学、北京理工大学

文章编辑:Jan Kautz 、 Sumanta Pattanaik 译制:R 站(btbat.com)

反正你也学不会系列,本文献对微表面模型做了一些综述,极具参考价值,因为来自 Arnold 官方推荐,其中包含一些微表面理论、GGX、Phong 和 Beckmann 分布函数、反射、折射、采样、Smith 阴影等函数的实现、测量、推导过程等等,希望能提高大家对原理性的了解,并提供一些参考性作用,另一方面了解下大佬的研究方法和态度!由于涉及诸多术语和公式,翻译可能有不对之处,欢迎多多指正,太蛋疼了。

摘要

微表面(Microfacet)模型,被用来建模光在粗糙表面上反射,已经被证明是非常成功的,在本文中,窝萌将回顾微表面理论,并演示如何将其模拟并扩展到,在粗糙表面上透射(Transmission)(如蚀刻玻璃)。我们将从透射模型与几个真实曲面中得到的实测数据进行了比较,并讨论了微表面分布和阴影遮蔽函数的适配选择。由于渲染透射介质,至少需要追踪 2 个接口的光,因此良好的重要性采样,是实操的必要条件。因此,我们也描述了采样微表面模型的有效方法,和相应的密度概率函数。

类别和主题描述符(根据 ACM CCS):I.3.7[三维图形和真实感]

关键词:折射(Refraction)、微表面 BTDF、 Cook-Torrance 光照模型、全局光照(Global lIllumination)、蒙特卡罗采样(Monte Carlo Sampling)

1、介绍

在许多材质效果中,射入或通过折射介质,也就是透射是材质的一个重要的组成部分,主要是指透明的物质,如玻璃、水、半透明的物质、如皮肤、大理石...当物质边界光滑时,利用斯涅尔(Snell's Law)折射定律可以很容易的模拟透射,然而当边界比较粗糙时,则缺乏用于计算机图形学的、基于物理的、经过验证的模型。

本文我们首先回顾微表面理论,并展示如何使用半向量泛化(指模型很好地拟合以前未见过的新数据(从用于创建该模型的同一分布中抽取)的能力?),来模拟介质之间粗糙边界处的反射和折射,这提供了一个完成的 BSDF 模型分析,可以用来模拟粗糙的透射材质,如图 1 所示的蚀刻玻璃球。我们的目标之一是为玩家提供一个完整的、自洽的参考,因此我们提供了所有必要的公式,并讨论一些实际的问题,比如分布的选择、阴影遮蔽、重要性采样。由于透射光必须且至少会交叉 2 个接口,因此良好的重要性采样,对于高效渲染至关重要。

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图 1:使用我们的微表面折射模型(粗糙度由纹理控制,基于贝克曼(Beckmann)分布),用世界地图蚀刻的玻璃球进行模拟。

通过对四个真实曲面透射数据的比较,验证了该模型的有效性。粗糙透射显示了几个有趣的行为(如图 2 所示),如峰值从光滑折射方向先掠射角的强烈偏移(类似于粗糙反射中的非镜面反射峰值),而微表面模型能够成功的预测这种效应。我们还引入了一个新的微表面分布,称之为 GGX,它比标准的 Beckmann 分布函数更适用于我们的一些曲面。

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测量透射θi=0,30,60,80°

图 2:粗糙表面(磨砂玻璃)在 0,30,60,80°入射角的测量透射 (ft(i,o,n) |o·n|),虚线是由斯涅尔定律预测的光滑表面的折射方向。注意,透射波瓣(lobe)随着入射角的增加而变宽,相对于通过光滑表面的折射,透射波瓣明显的向掠入射方向移动。

微表面理论见第三部分,第四部分给出了微表面(光滑)反射和折射的适当表达式,然后第五部分给出了粗糙表面反射和折射模型,并讨论了微表面分布的选择和相关函数。第六部分描述了我们使用的测量仪器,并将我们的测量结果与拟合的微表面模型进行比较。附录 A 回顾了任意微表面分布的史密斯(Smith)阴影遮蔽近似。

2、过往大佬门的努力

Cook 和 Torrance [CT82]在光学[TS67]早期工作的基础上,将微表面模型引入图形中,用于模拟粗糙表面的光反射,而现在已经提出了许多变化(例如:,[vSK98, KSK01, PK02])。微表面模型在图形学中得到了广泛的应用,并在许多真实曲面的建模中被证明是有效的[NDM05]。

Ward [Lar92]介绍了 Cook-Torrance 模型的简化版本,并将其扩展到各向异性的反射材质。他还介绍了一种对他的模型进行采样的方法,以及贝克曼分布的一般情况,但要获得正确的采样权重,请参见[Wal05]。Lawrence 等人[LRR04]提出了一种使用拟合可分近似的采样替代方法。

Schlick [Sch94]使用理性近似为 Cook-Torrance 模型创建了一个更节省资源的近似,包括对菲涅耳公式的广泛采用的近似。

Ashikhmin 和 Shirley [AS00]提出了一种利用包含正确重要性采样的 Phong 微面分布的各向异性反射模型。[APS00]从任意的微面分布创建了能量守恒的反射模型,尽管这个公式涉及到,在没有封闭形式解的情况下,对积分进行数值估算。

与我们最接近的工作是 Stam [Sta01],他推导了折射的微表面模型,也是作为皮肤反射率分层模型的一部分,他还推导了折射的雅可比(Jacobian)矩阵。然而,与目前的工作不同的是,Stam 没有提供重要性的采样或用实验数据验证他的模型。他还省略了阴影遮蔽术语,并使用了一个非标准的贝克曼分布变体。

提出了阴影-掩蔽项的许多近似方法(例如[TS67, San69, APS00])。我们使用 Smith [Smi67]的近似,该近似最初用于高斯曲面,后来推广到任意微表面分布[Bro80, BBS02]。

提出了基于波光学的反射模型(例如[HTSG91]),可以模拟比微表面模型更大范围的表面效应,但它们的评估要昂贵得多,并且缺乏良好的重要性采样。

还对各种粗糙表面模型的透射率进行了数值模拟,并与实测结果进行了比较[RE75, Ger03, SN91, NSSD90]。

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图 3:符号元素表格

符号说明:在这项工作中,我们将使用黑体小写字母(例如:i 或 v)表示单位向量或方向。非标准化向量将用箭头(例如 h)表示,以便清楚地区分它们。有时我们会用球极坐标来描述方向(例如,v=(0v,9v))。极坐标角 e 始终是方向与宏观表面法线 n 之间的夹角,而方位角 o 则来自于垂直于 n 的某个正则方向(对于我们讨论的各向同性情况,可以任意选择该方向)。虽然我们用辐照度(即光流 light flow)来描述 BSDF(即当处理对偶时,方程是相同的(即从摄像机追踪[Vea96])。

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图 4:宏观表面和微观表面

3、微表面(Microfacet)理论

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End

6.测量

为了验证我们的散射模型,我们测量了几种不同类型的粗糙玻璃表面的透射率,这种测量不能简单地通过照亮一块表面粗糙的玻璃,并测量散射光来实现,因为光线不能在玻璃内部直接观察到,而且内部反射将阻止散射到相对掠射方向的光,逃逸到可以测量的地方,同时,大量的内部反射光会从内部重新照亮粗糙的表面,产生不可接受的杂散光。

为了直接观察透射光,我们将近半球的平凸透镜,固定在采样背面,从而消除了第二个接口(图 9)。这种结构的灵感来自于[NN04]的工作。从粗糙表面照亮采样,从一定角度观察球面,仪器的旋转中心与球面中心对齐,使观察方向始终垂直于球面,通过这种方式,由于菲涅耳反射,散射光以最小的损失离开表面。此外,因为半球外的反射路径几乎垂直于表面,反射回采样中心附近区域的光相对较少,与平面采样相比,这大大减少了杂散光问题。

在我们的设置中,一个 100mm 的正方形样品,用指数匹配的粘合剂与一个直径 75mm,焦距 75mm 的平面凸透镜(近半球)粘合在一起。(所有样品均为钠钙玻璃(假设为商业样品)折射率在 1.51 左右。球形透镜为 BK7 光学玻璃,折射率为 1.52,固化胶折射率为 1.50。在我们测量的角度范围内,折射率的微小差异,会产生微不足道的反射。)对于厚度约为 6mm 的样品,透镜球面的中心位于粗糙表面上。然而,我们的样品是不同厚度的,因此该方法必须允许表面和中心之间有几毫米的距离。

样品由一个 6 毫米圆形光纤导光板的末端,从粗糙的一侧照亮,距离为 610mm(照明立体角:0.000076 sr),光源是直流调节光纤照明器,在整个样品表面提供稳定和无闪烁的照明。透射光由冷却的 CCD 摄像机,以 f/5.6(接收立体角:0.000039 sr),通过 35 毫米镜头成像,再从半球一侧,885 毫米的距离观察样品。测量是通过平均摄像机图像中与固定矩形中的像素值来进行的,该矩形对应于球面上的面积约为 3mmx10mm。(为了保证信号在测量区域内相对恒定,对扩散较小的样品,采用较小的区域。)

由于被测区域是由图像中的固定区域定义的,所以测量值与相机所观察到的辐射率成正比。由于在折射作用下,辐射保持不变(直到一个常数因子),这种排列产生的信号,与 BTDF 乘以入射角余弦成比例。重要的是要从前面照亮,从后面看,才有这样的特性,如果样品从半球面泛光照亮的,透镜会将光线聚焦成不均匀的辐照度分布,这将使系统对球体中心和表面之间的精确对齐变得非常敏感。

我们对四种不同工艺、粗糙表面的玻璃样品进行了测试。一种是商业生产的磨砂玻璃,由 120 号磨料(磨砂,1/16 英寸厚)的喷砂碱玻璃制成。在我们的实验室中,通过酸蚀一块钠钙玻璃板(蚀刻,3/16 英寸厚)的一侧来制备一个样品。最后两个没有那么好的特点:商用磨砂玻璃(磨砂,1/8 英寸厚),和商用可用的用于相框的防眩光玻璃(防眩光,1/16 英寸厚),除了两面粗糙的防眩光玻璃外,所有样品背面的抛光面均为平面,我们假设粘接剂填满了表面,所以额外粗糙的界面是不相关的(事实上,没有明显的证据表明空气层存在)。

测量结果一致表明,散射波瓣的峰值,明显偏离了预期的折射方向。当粗糙度较低时,如在防眩光玻璃中,峰值接近理想的折射角,但对于较粗糙的样品,峰值基本上向掠入射方向偏移。

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测量数据与模型 Θi=0, 30, 60, 80°

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相对分布 D(m):数据与拟合

图 10:磨砂玻璃样品。顶部为 BTDF 拟合,底部为以实验为依据的微表面分布 D 拟合。红线为 Beckmann 拟合,绿线为 GGX 拟合。

由于这个原因,在平板上很难直接观察到,这些粗糙表面 BTDFs 的许多特征,正如我们接下来展示的,我们的微观模型很好地预测了这种行为。

6.1 采样结果

对于我们的四个采样,我们分别使用 Beckmann 和 GGX 分布,将微表面 BTDF 拟合到我们测量法线入射透射数据中(见图 12)。对于所有样本,我们假设折射率为 1.51,这为我们提供了两个要拟合的自由参数:分布宽度参数(αb或αg)和一个整体比例因子,以将我们的测量结果映射到绝对比例。

为了测试我们的 BTDF 模型,我们为每个示例显示了两个图,第一个表示 ft(i,o,n)|o · n| 是透射角θo的函数,我们展示了进行拟合的法线入射情况(θi=0),和另外三个入射角度(θi=30、60、80°),以测试推断模型上这些角度。

第二幅图直接从数据中估计出微面分布函数 D 中的点,由于 G 项除掠射角外都接近 1,如果我们只使用远离掠射角的数据点(即|i·n| > 0.5 和|o·n| > 0.5),假设 G(i,o,m) = 1 对于这些点,我们可以解出方程 21 对应的 D(ht)值。我们也排除了测量值很低的点,因为这些点很容易受到杂散光的影响,如果数据符合一个微表面模型,这些点都应位于曲线附近,即曲面的微表面分布函数。注意,在这两个图中,模型都是由拟合的比例因子缩放的,以便与相对测量数据进行比较。

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测量数据与模型 Θi=0, 30, 60, 80°

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相对分布 D(m):数据与拟合

图 11:磨砂玻璃采样。顶部为 BTDF 拟合,底部以实验为依据的微面分布 D 拟合。红线为 Beckmann 拟合,绿色为 GGX 拟合。

磨砂玻璃采样的数据和模型如图 10 所示。我们可以看到 GGX 分布对数据提供了很好的拟合,比 Beckmann 拟合更接近。唯一显著的差异发生在近掠角,其中几何光学和单此散射的微表面假设可能不太有效。在发现 Beckmann 分布,与图中所示的推断的微面分布不匹配之后,我们专门开发了 GGX 分布来拟合该采样。

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图 12:四个样本的拟合系数。我们使用 Beckmann 和 GGX 微表面分布,将法线入射的测量数据拟合到我们的 BTDF。在每种情况下,我们都匹配分布宽度参数,和整体比例因子(因为我们有相对的,而不是绝对的测量)。

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测量数据与模型 Θi=0, 30, 60, 80°

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相对分布 D(m):数据与拟合

图 13:蚀刻采样,顶部为 BTDF 拟合,底部以实验为依据的微面分布 D 拟合。红线为 Beckmann 拟合,绿色为 GGX 拟合。

磨砂玻璃和蚀刻玻璃样品的图,如图 11 和图 13 所示。对于这两个样本,Beckmann 拟合和 GGX 拟合,都能很好地匹配测量到的透射模式,但都不能很好地匹配图 14 所示的,以实验为依据的微表面分布函数。最有可能的是,我们可以找到,介于 Beckmann 和 GGX 之间的行为分布函数,从而得到更好的匹配。

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测量数据与模型 Θi=0, 30, 60, 80°

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相对分布 D(m):数据与拟合

图 14:防眩光采样,顶部为 BTDF 拟合,底部以实验为依据的微面分布 D 拟合。红线为 Beckmann 拟合,绿色为 GGX 拟合。

如图 14 所示,防眩光玻璃的表面粗糙度比其他样品要低得多,因此波瓣要窄得多,因为它很窄,我们在波瓣内得到的采样相对较少,估算它的宽度也比较困难,在这种情况下,Beckmann 拟合和 GGX 拟合表现同样出色。

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图 15:使用从防眩光、地面和蚀刻玻璃采样中得到的拟合分布,模拟一个表面粗糙的矩形玻璃。

利用我们的 BTDF 模型和采样技术,我们对图 15 中的防眩光、地面和蚀刻样品进行了模拟。这些图像很好地复制了它们的不同外观,以及它们模糊图案和漫反射光线的能力。图形蚀刻玻璃球的模拟如图 1 所示。

7. 结论

本文对微表面(Microfacet)论进行了全面的综述,并介绍了如何将微表面理论应用到,处理具有粗糙表面的透射材料中。

我们用实测数据验证了所得到的 BTDF 模型,结果表明该模型能够预测真实表面的折射行为。

我们开发了一种新的微表面分布函数(GGX 分布),并表明至少在某些表面上,它比标准 Beckmann 分布更接近于测量数据。。

我们还描述了,如何有效地对微表面模型进行重要的采样,这在渲染透射光时至关重要。

我们相信,这些技术在模拟更广泛的材质方面是有用的,包括改进的半透明材质模型,如皮肤、大理石和油漆。

鸣谢: 这项工作得到了国家自然科学基金会(NSF)、ACI-0205438、CNS-0615240、CAREER CCF0347303、Alfred P. Sloan 研究基金和英特尔的支持。

附录 A:推导 Smith 阴影遮蔽, G1

本附录简要的回顾一下,从微表面分布 D 推导出的 Smith 阴影函数 G1;

有关详细信息,请参阅参考资料。Smith G1 最初是为高斯随机曲面创建的[Smi67],现已推广到其他微表面分布[Bro80,BBS02]。假设我们可以将微表面表示为,相对于宏观表面的随机高度场,其特征是两种概率分布:p1(ξ)表示高度ξ,p22(p,q)表示微表面二维坡度 p 和 q,分别垂直和平行于入射面测量。p1可以是任何概率函数,而不改变结果。二维坡度概率 p22可以用以下关系式由 d 计算得出:(42)
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其中余弦因子是由于测量值(立体角与坡度)的变化和和投影到宏观表面引起的。对贝克曼分布来说,这很容易证明(使用 tan2θm = p2 + q2关系),p22只是一个只是标准的二维高斯分布。坡度 q 在入射面 P2中的一维分布为:(43)
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设 s(ξ0,μ)为微表面上一个高度,为ξ0的随机点从 V 方向可见的概率,其中μ为可见光的坡度(见图 16):(44)
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用射线在宏观表面上的投影距离τ来参数化射线,射线在τ处的高度为ξ0+µτ。设 g(τ)∆τ为先前未被遮挡的射线,在间隔内首先与微表面相交的分数 [τ, τ+∆τ],因此:(45)
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其中 g 的作用类似于体积渲染中的衰减系数。为了计算 g,我们假设表面高度和坡度分布是独立的,g 可以近似为:从表面上方的间隔开始的光线中,有多少部分位于表面末端的下方(因此与表面相交的位置为[τ, τ+∆τ])。如果ξ和 q 是τ处表面的高度和坡度,则射线在τ处的表面上方,如果ξ0 +µτ > ξ,则射线在τ+∆τ处的表面上方,如果( (q−µ)∆τ > (ξ0 +µτ)−ξ,则射线在τ+∆τ的表面下方。因此我们得到:(46)
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表达式中,f(z)是表面上方的概率 z,Λ是:(47、48)
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我们可以通过注意等式 46 中的分子,是其分母的导数来求解等式 45:(49)
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然后我们对所有起始高度ξ0进行积分得到 S(µ),所有起始微表面高度的平均可见度:(50)
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其中,我们使用的 f(ξ0)的导数是 P10)
最后,我们添加了一个条件,来检查 v 是否从微表面的正确一侧开始(即侧边一致性),以得到 Smith 单向阴影项:(51)
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利用这些方程,我们可以推导出任何微面分布 D 的 G1(尽管在方程 48 中的积分对某些 D 没有封闭形式的解),同时又与方程 23 一起找到相应的双向阴影掩蔽项。
通常对所有 m 需要执行另一个集成,来获得整个微表面上的平均阴影,但这对于微表面模型来说既不需要也不理想。

参考文献(略),请下载英文原版文献查看。

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干货:如何让渲染飞更快?关于场景优化一些你必须要知道的重要的姿势!

2019-7-4 11:50:23

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2019-8-10 15:07:50

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