欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载)

Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces

在粗糙表面上折射的微表面模型

作者:Bruce Walter 、stephen R. Marschner 、Hongsong Li 、Kenneth E. Torrance

计算机图形学专业:康奈尔(Cornell)大学、北京理工大学

文章编辑:Jan Kautz 、 Sumanta Pattanaik 译制:R 站(btbat.com)

前言:

反正你也学不会系列,本文献对微表面模型做了一些综述,极具参考价值,因为来自 Arnold 官方推荐,其中包含一些微表面理论、GGX、Phong 和 Beckmann 分布函数、反射、折射、采样、Smith 阴影等函数的实现、测量、推导过程等等,希望能提高大家对原理性的了解,并提供一些参考性作用,另一方面了解下大佬的研究方法和态度!由于涉及诸多术语和公式,翻译可能有不对之处,欢迎多多指正,太蛋疼了。

摘要:

微表面(Microfacet)模型,被用来建模光在粗糙表面上反射,已经被证明是非常成功的,在本文中,窝萌将回顾微表面理论,并演示如何将其模拟并扩展到,在粗糙表面上透射(Transmission)(如蚀刻玻璃)。我们将从透射模型与几个真实曲面中得到的实测数据进行了比较,并讨论了微表面分布和阴影遮蔽函数的适配选择。由于渲染透射介质,至少需要追踪 2 个接口的光,因此良好的重要性采样,是实操的必要条件。因此,我们也描述了采样微表面模型的有效方法,和相应的密度概率函数。

类别和主题描述符(根据 ACM CCS):I.3.7[三维图形和真实感]

关键词:折射(Refraction)、微表面 BTDF、 Cook-Torrance 光照模型、全局光照(Global lIllumination)、蒙特卡罗采样(Monte Carlo Sampling)

1、介绍:

在许多材质效果中,射入或通过折射介质,也就是透射是材质的一个重要的组成部分,主要是指透明的物质,如玻璃、水、半透明的物质、如皮肤、大理石...当物质边界光滑时,利用斯涅尔(Snell's Law)折射定律可以很容易的模拟透射,然而当边界比较粗糙时,则缺乏用于计算机图形学的、基于物理的、经过验证的模型。

本文我们首先回顾微表面理论,并展示如何使用半向量泛化(指模型很好地拟合以前未见过的新数据(从用于创建该模型的同一分布中抽取)的能力?),来模拟介质之间粗糙边界处的反射和折射,这提供了一个完成的 BSDF 模型分析,可以用来模拟粗糙的透射材质,如图 1 所示的蚀刻玻璃球。我们的目标之一是为玩家提供一个完整的、自洽的参考,因此我们提供了所有必要的公式,并讨论一些实际的问题,比如分布的选择、阴影遮蔽、重要性采样。由于透射光必须且至少会交叉 2 个接口,因此良好的重要性采样,对于高效渲染至关重要。

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图 1:使用我们的微表面折射模型(粗糙度由纹理控制,基于贝克曼(Beckmann)分布),用世界地图蚀刻的玻璃球进行模拟。

通过对四个真实曲面透射数据的比较,验证了该模型的有效性。粗糙透射显示了几个有趣的行为(如图 2 所示),如峰值从光滑折射方向先掠射角的强烈偏移(类似于粗糙反射中的非镜面反射峰值),而微表面模型能够成功的预测这种效应。我们还引入了一个新的微表面分布,称之为 GGX,它比标准的 Beckmann 分布函数更适用于我们的一些曲面。

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测量透射θi=0,30,60,80°

图 2:粗糙表面(磨砂玻璃)在 0,30,60,80°入射角的测量透射 (ft(i,o,n) |o·n|),虚线是由斯涅尔定律预测的光滑表面的折射方向。注意,透射波瓣(lobe)随着入射角的增加而变宽,相对于通过光滑表面的折射,透射波瓣明显的向掠入射方向移动。

微表面理论见第三部分,第四部分给出了微表面(光滑)反射和折射的适当表达式,然后第五部分给出了粗糙表面反射和折射模型,并讨论了微表面分布的选择和相关函数。第六部分描述了我们使用的测量仪器,并将我们的测量结果与拟合的微表面模型进行比较。附录 A 回顾了任意微表面分布的史密斯(Smith)阴影遮蔽近似。

2、过往大佬门的努力

Cook 和 Torrance [CT82]在光学[TS67]早期工作的基础上,将微表面模型引入图形中,用于模拟粗糙表面的光反射,而现在已经提出了许多变化(例如:,[vSK98, KSK01, PK02])。微表面模型在图形学中得到了广泛的应用,并在许多真实曲面的建模中被证明是有效的[NDM05]。

Ward [Lar92]介绍了 Cook-Torrance 模型的简化版本,并将其扩展到各向异性的反射材质。他还介绍了一种对他的模型进行采样的方法,以及贝克曼分布的一般情况,但要获得正确的采样权重,请参见[Wal05]。Lawrence 等人[LRR04]提出了一种使用拟合可分近似的采样替代方法。

Schlick [Sch94]使用理性近似为 Cook-Torrance 模型创建了一个更节省资源的近似,包括对菲涅耳公式的广泛采用的近似。

Ashikhmin 和 Shirley [AS00]提出了一种利用包含正确重要性采样的 Phong 微面分布的各向异性反射模型。[APS00]从任意的微面分布创建了能量守恒的反射模型,尽管这个公式涉及到,在没有封闭形式解的情况下,对积分进行数值估算。

与我们最接近的工作是 Stam [Sta01],他推导了折射的微表面模型,也是作为皮肤反射率分层模型的一部分,他还推导了折射的雅可比(Jacobian)矩阵。然而,与目前的工作不同的是,Stam 没有提供重要性的采样或用实验数据验证他的模型。他还省略了阴影遮蔽术语,并使用了一个非标准的贝克曼分布变体。

提出了阴影-掩蔽项的许多近似方法(例如[TS67, San69, APS00])。我们使用 Smith [Smi67]的近似,该近似最初用于高斯曲面,后来推广到任意微表面分布[Bro80, BBS02]。

提出了基于波光学的反射模型(例如[HTSG91]),可以模拟比微表面模型更大范围的表面效应,但它们的评估要昂贵得多,并且缺乏良好的重要性采样。

还对各种粗糙表面模型的透射率进行了数值模拟,并与实测结果进行了比较[RE75, Ger03, SN91, NSSD90]。

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图 3:符号元素表格

符号说明:在这项工作中,我们将使用黑体小写字母(例如:i 或 v)表示单位向量或方向。非标准化向量将用箭头(例如 h)表示,以便清楚地区分它们。有时我们会用球极坐标来描述方向(例如,v=(0v,9v))。极坐标角 e 始终是方向与宏观表面法线 n 之间的夹角,而方位角 o 则来自于垂直于 n 的某个正则方向(对于我们讨论的各向同性情况,可以任意选择该方向)。虽然我们用辐照度(即光流 light flow)来描述 BSDF(即当处理对偶时,方程是相同的(即从摄像机追踪[Vea96])。

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图 4:宏观表面和微观表面

3、微表面(Microfacet)理论

BSDF(双向散射分布函数 Bidirectional Scattering Distribution Function)描述了光如何从表面散射。它被定义为从方向 i 入射的单位辐照度,在方向 o 的散射辐射率,我们将它表示为 fs(i,o,n),来强调它对局部曲面法线 n 的依赖性。

如果只限于反射或透射,通常分别称为 BRDF 或 BTDF,我们的 BSDF 是一个 BRDF fr和一个 BTDF fr的和。由于我们既要考虑反射,又要考虑透射,所以我们要注意推导和方程能正确地处理曲面两侧的方向。

在微表面模型中,一个非常细节的微表面被替换为一个简化的宏观表面(见图 4),该简化的宏观表面具有一个,与微表面聚合定向散射相匹配的改进的散射函数(BSDF)(即两者从远处看应该是一样的)。

这个假设是微观表面的细节太小,而不能直接看到,所以只有远场定向散射模式起作用。为了简化问题,通常假设几何光学,仅对单个散射进行建模。两次(或更多)撞击表面的波效应和光被忽略,或者必须单独处理。而不是使用特定的微表面结构,这里假设微表面可以用 2 个统计措施来描述,一个微表面分布函数 D 和一个阴影遮蔽函数 G,以及一个微表面 BSDF fsm

3.1 微表面分布函数 D

微面正态分布 D(m)描述了表面法线 m 在微表面上的统计分布。给定一个以 m 为中心的无穷小或极小固定角(solid angle)dωm,和极小宏观表面积 dA,则 D(m)dωmdA 是法线位于指定固定角内的相应微曲面部分的总面积。

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图 5:阴影遮蔽几何体,三个点具有相同微表面法线 m,其中两个 2 点在 i 方向和哦方向上可见,而中间这个点(本例为 i 方向上)被阻塞,按照惯例,我们总是使用指向远离表面的方向。

因此 D 是一个密度函数,单位是 1/立体弧度(steradians)。一个可信的微表面分布至少应遵循以下特性:

-- 微表面密度为正值:(1)

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-- 总微表面面积至少与对应的宏观表面面积相同:(2)

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-- 微表面(有符号 signed)投影面积与任意方向 v 的宏观表面投影面积相同:(3)

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在特殊情况下,v=n:(4)

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在第 5.2 节讨论了特定微面分布的方程。

3.2 阴影遮蔽(Shadowing-Masking)函数 G

双向阴影遮蔽函数 G(i, o m)描述了在 i 和 o 两个方向上,具有法线 m 的微表面,哪些部分是可见的(参见图 5)。典型情况下,除了接近掠射角或非常粗糙的表面,然而阴影遮蔽函数对 BSDF 的形状影响相对较小,但需要保持能量守恒(Energy Conservation)。

一个可信的阴影遮蔽函数应该遵循的一些重要特性是:

-- 阴影遮蔽是介于 0~1 之间的分量(数):(5)

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-- 它在两个可见方向上对称:(6)

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-- 从宏观表面的正面方向看,微表面的背面是不可见的,反之亦然(侧面一致):(7)

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阴影遮蔽函数依赖于微表面的细节,很少有精确的表达式。更典型的是,使用各种统计模型和简化假设导出近似。更多讨论请参见第 5 节和附录 A。

3.3 宏观表面 BSDF 积分

宏观表面 BSDF 是为了匹配微表面的聚集方向(单个)散射行为而设计的。我们可以通过对微表面所有可见部分的对应贡献,进行积分(即求和)来计算它,每个部分则根据微表面的 BSDF fsm 计算散射光。D 和 G 的乘积给出了每个微法线 m 对应的微表面可见区域。我们还需要应用校正因子,首先将入射辐照度转换到微表面,然后再将散射辐照度转换回宏观表面,因为辐照度和辐照度都是相对于表面的投影面积进行测量的。

得到的大表面 BSDF 积分为:(8)

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要应用这个积分,我们需要 D、G 和 fsm的方程。我们假设微表面局部是光滑的,所以 fsm是理想(镜面)反射和理想(斯涅尔定律)折射的总和,用菲涅耳项 F 描述相对强度,下一节将推导出 fsm的适当表达式。

4、微表面镜面 BSDFs

虽然任何 BSDF 都可以用于微表面 BSDF,但大多数微面模型都假设为理想的镜面反射,其中微表面充当一组微小的平面镜子(即微表面)。在这项工作中,我们包括了理想反射和理想折射两项。

通用的镜面 BSDF 将入射能量的一部分ρ,从方向 i 散射到单个镜面方向 s(其中ρ和 s,是 i 和局部表面法线的函数)。

我们可以把这样一个镜面 BSDF 写成:(9)

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其中δωo(s,o)是一个狄拉克δ函数(描述点分布密度的广义函数,用δ表示),当 s=0,其值是无穷大的,否则为 0。

在数学上δ函数不是一个函数,而是广义函数(狄拉克δ函数是一个广义函数,在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布,该函数在除了零以外的点取值都等于零,而其在整个定义域上的积分等于 1。狄拉克δ函数在概念上,它是这么一个“函数”:在除了零以外的点函数值都等于零,而其在整个定义域上的积分等于 1)。

它们总是有一个相关的度量(例如δωo,o 的固定角度量),并通过它们对该度量的积分来定义: (10)

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对于任何函数 g(s)。

为了在方程 8 中使用这样的 BSDF,我们需要用微表面法线及其相关的固定角度量来表示它。让我们假设对于任何给定的入射和出射方向,至少有一个微表面法线从 i 向 o 散射能量,我们可以把这个法线计算为 h(i,o),我们称之为半方向(half-direction)。(这个名字来自于反射,其中 h 是 i 和 o 中间的方向,但折射的定义不同。)

然后我们可以用 h 和 m 之间的δ函数重写 BSDF。然而,由于δ函数是关于一个积分定义的,因此改变它的相关度量,需要一个适当的校正因子来保持积分的值。利用变量变换定理,方程 9 等价为:(11)

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其中欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 17为 h 与 o 之间转换的雅可比矩阵(Jacobian)行列式的绝对值(使用固定角度量),为了简洁起见,后者通常被简单的成为雅可比矩阵。

雅可比矩阵描述了两个空间中微小扰动之间的量值关系。我们可以通过在 o 的固定角上产生一个小扰动来计算它,我们将其表示为 dωo,并找到 h 中的感应固定角扰动,我们将其表示为 dωh,雅可比矩阵定义为:(12)

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在极限下的极小扰动,固定角直接对应于单位球面上的面积,这种极小的区域面积可以看成近似平面,这就使得我们可以从几何上计算图 6 和图 7 中的反射和折射雅可比矩阵。我们在 o 周围创建了一个极小的固定角扰动 dωo,它等价于在单位球面上以 o 为底的极小面积。然后我们把这个区域,投射到以 h 为底的单位球面上,它就相当于诱导关于 h 的固定角扰动 dωh,这些极小的固定角之比等于雅可比矩阵。雅可比矩阵也可以由[Sta01]中 h 和 o 的关系式代数计算得到。

4.1 fsm,理想的反射

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图 6:半矢量欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 20和标准化(Normalized)半方向欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 21的理想反射几何。为了计算雅可比矩阵,我们计算了标准化半矢量中的固定角扰动 dωh,在 o 中,由无穷多的固定角扰动引起 dωo,立体角与相应单位球面上的面积成正比,仅显示整个三维空间的二维入射面切片。

对于理想反射,我们将半方向表示为 hr,它的非标准化版本,半向量表示为欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 22(我们将在透射情况下使用ht)。我们使用欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 23的标准公式,可以用符号(i.n)来调整它,以便我们的方程适用于表面的任意一侧(即正面或背面)。而反射半方向位于 i 和 o 中间,它和它的雅可比矩阵为:(13)

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(14)

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雅可比矩阵的几何推导如图 6 所示,我们事实上还使用了欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 26欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 27,当 i=-o 时,半方向没有定义,这永远不是有效反射的设置,对于反射,我们将ρ设为菲涅尔系数 F(见 5.1 节),利用方程 11,微表面反射 BRDF 为:(15)

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从表面两侧反射。由于雅可比项的存在,fsm随着|i·hr|的减小而增加,这是由微表面模型预测,和在真实表面观测的,非镜面反射峰值的主要原因。

4.2 fsm,理想的折射

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图 7:半矢量欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 30和标准化半方向欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 31的理想折射几何。我们计算雅可比矩阵的方法是,取 o 中的一个极小的固定角扰动 dωo,将其投射到欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 32的扰动中,然后在单位球面上得到 ht,仅显示整个三位空间中的二维入射面切片。

在透射的情况下,我们需要表面两边的折射率。让我们见入射面和透射面的指数分别表示为ηi和ηo,理想折射则遵循斯涅尔定律,求出与任意入射方向 i 对应的折射方向 o。斯涅尔定律也可用半方向 ht定义为:(16)

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垂直于 m 的 i 和 o 分量的大小,等于它们和 m 夹角的正弦值。对于折射方向,根据斯涅尔定律,这些分量在 ht下完全抵消,得到的方向将与 m 共线。如果我们排除 i 和 o 在曲面同一侧的情况,那么,只有当 i 和 o 在使用 m 为表面法线时,则遵从斯涅尔折射定律,我们才会得到ht=m。负号是因为我们使用的惯例,是表面法线指向折射率较低的介质(如空气)。我们假设表面的两边具有不同的折射率,否则ht的定义就变得不明确了。对应的雅可比矩阵(见图 7)为:(17)

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假设界面没有光被吸收,因此折射的ρ为 1,减去菲涅耳因子 F。利用公式 11,我们可以将微表面折射 BSDF 写成:(18)

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请注意,此 BTDF 不遵从互惠(reciprocal)原则,相反我们有欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 36。这是折射接口的一个众所周知的特性[Vea96](虽然 Veach 正确的指出折射 BTDFs 不是互惠的,但他错误的宣称它们不是自伴随(self-adjoint)的。事实上,无论从光传输辐射量,还是从相机传输重要性上来讲,这些方程都是相同的),如果需要,我们可以通过追踪辐射度(radiance)/η2,而不是辐射(有时称为基本辐射),来恢复互惠性。在反射率方面,由于雅可比项的存在,BTDF 向掠射角方向增加,这同样导致折射波瓣中的非镜面反射峰值。

5、粗糙表面的 BSDF

利用反射和折射的微表面 BSDFs,结合公式 8,我们现在可以写出宏观表面反射和折射的 BSDF fs的方程,即 BRDF 和 BTDF 项之和:(19)

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反射项是:(20)

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除了在分母因子是 4,而不是π,这和 Cook-Torrance BSDF 完全一样,然而,最初的论文对 D 使用了不同的标准化,而最近的其他一些论文也同意我们的常熟 4(例如[Sta01]),对应的折射率项为:(21)

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我们在折射分量中,没有得到很好的抵消项,但它仍然很容易实现和评估。这就完成了我们对粗糙电介质表面反射和透射微面模型的基本 BSDF 方程的推导。

5.1 选择 F、D、G

使用公式 20 和 21,需要对 F、D 和 G 项做出适当的选择。菲涅尔项是最容易理解的,文献中也有准确的方程。菲涅尔项在法线入射时通常很小(例如玻璃为 0.04,ηt=1.5),在掠射角或全内部反射时,增加到统一。非偏振光(Unpolarized Light)电介质的一种方便的精确公式[CT82]:(22)

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注意,如果 g 是虚数,这表示全内部反射,在这种情况下 F=1。有时也会使用更便宜的 F 近似值[CT82,Sch94]。

多种微面分布函数 D 的提出,在本文中,我们讨论了三种不同类型:Beckmann、Phong 和 GGX。

Beckmann 分布原子微表面的高斯粗糙度假设,在光学文献中得到广泛的应用;

Phong 分布是图形学文献中发展起来的一种纯经验分布;然而,如果选择合适的宽度参数,它与 Beckmann 分布非常相似。

GGX 分布是新的,我们开发它来更好地匹配我们的透射测量数据。最后给出了这三种分布类型的方程及其相关函数。

阴影遮蔽项 G 取决于分布函数 D 和微表面细节,因此,精确的解决方案几乎是不可能实现的。Cook & Torrance 使用了基于一维平行槽模型的 G,该模型保证了 D 分布的能量守恒,但我们不推荐使用它,因为它包含了一阶导数不连续点和其他在真实曲面中看不到的特征。相反,我们将使用 Smith 阴影遮蔽近似[Smi67]。Smith G 最初是为高斯粗糙曲面推导的,但后来被扩展到处理具有任意分布函数的曲面[Bro80, BBS02],尽管在某些情况下(如,Phong),所得到的积分,没有简单的闭式解。

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图 8:左:Beckmann(红色)、Phong(蓝色)、GGX(绿色)分布函数 D(m), αb=0.2, αp=48, αg=0.2。Beckmann 和 Phong 几乎是相同的,而 GGX 有一个更窄的峰值和更强的尾巴。右:Smith 阴影遮蔽项,G1(v,n)用于相同的 Beckmann(红色)和 GGX(绿色)分布。G1接近 1,除了在掠射角处,由于其尾部更强,则 GGX 有更多的阴影。

Smith G 将双向遮蔽,近似为两个单向阴影项 G1的可分离乘积:(23)

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其中 G1 来源于[Smi67, Bro80, BBSO2]和附录 A 中所述的微表面分布 D。史密斯实际上推导了两个不同的阴影函数:一个是当微表面法线 m 已知时的阴影函数,另一个是所有微表面法线的平均阴影函数。虽然后者在文献中使用得更频繁(例如[HTSG91]),在我们已知感兴趣的微表面法线的微表面模型中,前者更合适,我们在本文中使用了它。

5.2 具体分布及相关函数

下面我们给 Beckmann, Phong 和 GGX 分布 D 的方程(见图 8),及其相关的 Smith 追踪函数 G1,以及从区间[0,1]中的两个均匀随机变量ξ1 和ξ2 生成微表面法线的采样方程。使用给定的采样方程生成任意 m 的概率为:(24)

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注意,θm是 m 与 n 的夹角,θv是 v 与 n 的夹角,χ+(a)是正的特征函数(a >为 1,a≤0 为 0)。这些都是高度场分布(即 D(m)=0,如果 m·n≤0),还有各向异性变量问题,但这里不讨论。

贝克曼分布的宽度参数αb:(25)

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(26)

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在 G1方程中,第一个因子强制执行侧面一致性(即 v 必须在宏观和微观表面的同一侧)。因为它涉及到误差函数:(27)

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这个方程的计算代价很高。

Schlick[Sch94]提出了一种更廉价的理性计算方法,但它是基于一个不同的阴影遮蔽方程。相反,对上述 Smith G1方程给出了以下更合理的近似值,且相对误差小于 0.35%。

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采样 D(m)|m·n|的公式为:(28)(29)

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Phong 分布带有指数参数αp:(30)

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注意,如果设置欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 50,Phong 和 Beckmann 分布非常相似,特别是对于窄宽度(见图 8),这可能有助于解释纯经验 Phong 分布的冗长性。在图形应用中,基于计算的方便性,在两者之间进行选择是合理的。不幸的是,计算 Smith G1的积分,对于 Phong 分布没有封闭形式的解。基于它与 Beckmann 的相似性和一些数值测试,我们建议使用方程 27,其中欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 51作为 Phong 的 Gi 项。采样 D(m)|m·nl 的方程为:(31)(32)

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GGX Distribution with width parameter αg:(33)、(34)
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GGX 分布比 Beckmann 和 Phong 分布具有更强的尾部,因此有更多的阴影。D(m) |m·n|采样方程为:(35)、(36)

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5.3 采样(Sampling)和权重(Weights)

为了对 BSDF 进行采样,我们假设给定了一个方向 i,并且我们想要以 fs(i,o,n)|o·n|紧密匹配的模式,生成分散的方向 o。一般来说,一个微表面 BSDF 不能被精确采样。我们的方法是,先对一个微表面法线 m 进行采样,然后用它来生成散射方向 o。为了计算相应采样的权重,我们还需要计算采样方向的概率密度 p0得到的权重为:(37)

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在这里,我们要选择采样,来最小化结果权重中的方差。

如果我们选择具有一些概率 pm的微表面法线 m,并对半方向(half-direction)公式(即公式 13 或 16)转化为产生相应的散射方向 o,则得到的概率,将包括半方向变换的雅可比矩阵(例如,见[wal05]):
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利用 5.2 节的采样方程,我们可以根据概率 pm(m)=D(m)|m·nl 生成采样的微表面法线 m。然后我们可以计算菲涅耳项 F(i,m),并利用它在反射和折射之间进行选择,从而将菲涅耳项折算到概率中。对于反射,散射方向 or为:(39)
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对于透射,散射方向 ot 为:(40)

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勘误表 eqn40: η2 缺失指数。现已修复。

在这两种情况下,散射方向的最终权重为:(41)

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在法线入射角(即,|i·n|≈1)的情况下,这是一个近乎完美的采样。在掠射角情况下,它仍然是一个很好的采样,但根据 D 和 G 参数的选择,可以产生高达数百万到数亿的采样权重,尽管如此高的权重不太可能(最坏的情况是入射餘角时的反向反射,因为 fs非常小)。它们可能会给那些,假定权重如此之高的方法带来问题(例如,大多数粒子追踪方法)。我们可以通过稍微改变采样分布,来极大地降低最大权重。例如,对于 Beckmann 分布,我们可以用欧洲图形绘制研讨会文献:在粗糙表面上折射的微表面模型(Microfacet Models for Refraction through Rough Surfaces) (附:原文下载) - R站|学习使我快乐! - 60。来表示一个稍微加宽的分布,这样可以将最大采样权重减少大约为 4,非常显著的减少。

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图 9:测量设置:我们将一个玻璃半球粘在采样的背面,这样即使在掠入射角度下也能观察到透射。

6.测量

为了验证我们的散射模型,我们测量了几种不同类型的粗糙玻璃表面的透射率,这种测量不能简单地通过照亮一块表面粗糙的玻璃,并测量散射光来实现,因为光线不能在玻璃内部直接观察到,而且内部反射将阻止散射到相对掠射方向的光,逃逸到可以测量的地方,同时,大量的内部反射光会从内部重新照亮粗糙的表面,产生不可接受的杂散光。

为了直接观察透射光,我们将近半球的平凸透镜,固定在采样背面,从而消除了第二个接口(图 9)。这种结构的灵感来自于[NN04]的工作。从粗糙表面照亮采样,从一定角度观察球面,仪器的旋转中心与球面中心对齐,使观察方向始终垂直于球面,通过这种方式,由于菲涅耳反射,散射光以最小的损失离开表面。此外,因为半球外的反射路径几乎垂直于表面,反射回采样中心附近区域的光相对较少,与平面采样相比,这大大减少了杂散光问题。

在我们的设置中,一个 100mm 的正方形样品,用指数匹配的粘合剂与一个直径 75mm,焦距 75mm 的平面凸透镜(近半球)粘合在一起。(所有样品均为钠钙玻璃(假设为商业样品)折射率在 1.51 左右。球形透镜为 BK7 光学玻璃,折射率为 1.52,固化胶折射率为 1.50。在我们测量的角度范围内,折射率的微小差异,会产生微不足道的反射。)对于厚度约为 6mm 的样品,透镜球面的中心位于粗糙表面上。然而,我们的样品是不同厚度的,因此该方法必须允许表面和中心之间有几毫米的距离。

样品由一个 6 毫米圆形光纤导光板的末端,从粗糙的一侧照亮,距离为 610mm(照明立体角:0.000076 sr),光源是直流调节光纤照明器,在整个样品表面提供稳定和无闪烁的照明。透射光由冷却的 CCD 摄像机,以 f/5.6(接收立体角:0.000039 sr),通过 35 毫米镜头成像,再从半球一侧,885 毫米的距离观察样品。测量是通过平均摄像机图像中与固定矩形中的像素值来进行的,该矩形对应于球面上的面积约为 3mmx10mm。(为了保证信号在测量区域内相对恒定,对扩散较小的样品,采用较小的区域。)

由于被测区域是由图像中的固定区域定义的,所以测量值与相机所观察到的辐射率成正比。由于在折射作用下,辐射保持不变(直到一个常数因子),这种排列产生的信号,与 BTDF 乘以入射角余弦成比例。重要的是要从前面照亮,从后面看,才有这样的特性,如果样品从半球面泛光照亮的,透镜会将光线聚焦成不均匀的辐照度分布,这将使系统对球体中心和表面之间的精确对齐变得非常敏感。

我们对四种不同工艺、粗糙表面的玻璃样品进行了测试。一种是商业生产的磨砂玻璃,由 120 号磨料(磨砂,1/16 英寸厚)的喷砂碱玻璃制成。在我们的实验室中,通过酸蚀一块钠钙玻璃板(蚀刻,3/16 英寸厚)的一侧来制备一个样品。最后两个没有那么好的特点:商用磨砂玻璃(磨砂,1/8 英寸厚),和商用可用的用于相框的防眩光玻璃(防眩光,1/16 英寸厚),除了两面粗糙的防眩光玻璃外,所有样品背面的抛光面均为平面,我们假设粘接剂填满了表面,所以额外粗糙的界面是不相关的(事实上,没有明显的证据表明空气层存在)。

测量结果一致表明,散射波瓣的峰值,明显偏离了预期的折射方向。当粗糙度较低时,如在防眩光玻璃中,峰值接近理想的折射角,但对于较粗糙的样品,峰值基本上向掠入射方向偏移。

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测量数据与模型 Θi=0, 30, 60, 80°

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相对分布 D(m):数据与拟合

图 10:磨砂玻璃样品。顶部为 BTDF 拟合,底部为以实验为依据的微表面分布 D 拟合。红线为 Beckmann 拟合,绿线为 GGX 拟合。

由于这个原因,在平板上很难直接观察到,这些粗糙表面 BTDFs 的许多特征,正如我们接下来展示的,我们的微观模型很好地预测了这种行为。

6.1 采样结果

对于我们的四个采样,我们分别使用 Beckmann 和 GGX 分布,将微表面 BTDF 拟合到我们测量法线入射透射数据中(见图 12)。对于所有样本,我们假设折射率为 1.51,这为我们提供了两个要拟合的自由参数:分布宽度参数(αb或αg)和一个整体比例因子,以将我们的测量结果映射到绝对比例。

为了测试我们的 BTDF 模型,我们为每个示例显示了两个图,第一个表示 ft(i,o,n)|o · n| 是透射角θo的函数,我们展示了进行拟合的法线入射情况(θi=0),和另外三个入射角度(θi=30、60、80°),以测试推断模型上这些角度。

第二幅图直接从数据中估计出微面分布函数 D 中的点,由于 G 项除掠射角外都接近 1,如果我们只使用远离掠射角的数据点(即|i·n| > 0.5 和|o·n| > 0.5),假设 G(i,o,m) = 1 对于这些点,我们可以解出方程 21 对应的 D(ht)值。我们也排除了测量值很低的点,因为这些点很容易受到杂散光的影响,如果数据符合一个微表面模型,这些点都应位于曲线附近,即曲面的微表面分布函数。注意,在这两个图中,模型都是由拟合的比例因子缩放的,以便与相对测量数据进行比较。

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测量数据与模型 Θi=0, 30, 60, 80°

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相对分布 D(m):数据与拟合

图 11:磨砂玻璃采样。顶部为 BTDF 拟合,底部以实验为依据的微面分布 D 拟合。红线为 Beckmann 拟合,绿色为 GGX 拟合。

磨砂玻璃采样的数据和模型如图 10 所示。我们可以看到 GGX 分布对数据提供了很好的拟合,比 Beckmann 拟合更接近。唯一显著的差异发生在近掠角,其中几何光学和单此散射的微表面假设可能不太有效。在发现 Beckmann 分布,与图中所示的推断的微面分布不匹配之后,我们专门开发了 GGX 分布来拟合该采样。

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图 12:四个样本的拟合系数。我们使用 Beckmann 和 GGX 微表面分布,将法线入射的测量数据拟合到我们的 BTDF。在每种情况下,我们都匹配分布宽度参数,和整体比例因子(因为我们有相对的,而不是绝对的测量)。

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测量数据与模型 Θi=0, 30, 60, 80°

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相对分布 D(m):数据与拟合

图 13:蚀刻采样,顶部为 BTDF 拟合,底部以实验为依据的微面分布 D 拟合。红线为 Beckmann 拟合,绿色为 GGX 拟合。

磨砂玻璃和蚀刻玻璃样品的图,如图 11 和图 13 所示。对于这两个样本,Beckmann 拟合和 GGX 拟合,都能很好地匹配测量到的透射模式,但都不能很好地匹配图 14 所示的,以实验为依据的微表面分布函数。最有可能的是,我们可以找到,介于 Beckmann 和 GGX 之间的行为分布函数,从而得到更好的匹配。

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测量数据与模型 Θi=0, 30, 60, 80°

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相对分布 D(m):数据与拟合

图 14:防眩光采样,顶部为 BTDF 拟合,底部以实验为依据的微面分布 D 拟合。红线为 Beckmann 拟合,绿色为 GGX 拟合。

如图 14 所示,防眩光玻璃的表面粗糙度比其他样品要低得多,因此波瓣要窄得多,因为它很窄,我们在波瓣内得到的采样相对较少,估算它的宽度也比较困难,在这种情况下,Beckmann 拟合和 GGX 拟合表现同样出色。

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图 15:使用从防眩光、地面和蚀刻玻璃采样中得到的拟合分布,模拟一个表面粗糙的矩形玻璃。

利用我们的 BTDF 模型和采样技术,我们对图 15 中的防眩光、地面和蚀刻样品进行了模拟。这些图像很好地复制了它们的不同外观,以及它们模糊图案和漫反射光线的能力。图形蚀刻玻璃球的模拟如图 1 所示。

7. 结论

本文对微表面(Microfacet)论进行了全面的综述,并介绍了如何将微表面理论应用到,处理具有粗糙表面的透射材料中。

我们用实测数据验证了所得到的 BTDF 模型,结果表明该模型能够预测真实表面的折射行为。

我们开发了一种新的微表面分布函数(GGX 分布),并表明至少在某些表面上,它比标准 Beckmann 分布更接近于测量数据。。

我们还描述了,如何有效地对微表面模型进行重要的采样,这在渲染透射光时至关重要。

我们相信,这些技术在模拟更广泛的材质方面是有用的,包括改进的半透明材质模型,如皮肤、大理石和油漆。

鸣谢: 这项工作得到了国家自然科学基金会(NSF)、ACI-0205438、CNS-0615240、CAREER CCF0347303、Alfred P. Sloan 研究基金和英特尔的支持。

附录 A:推导 Smith 阴影遮蔽, G1

本附录简要的回顾一下,从微表面分布 D 推导出的 Smith 阴影函数 G1;

有关详细信息,请参阅参考资料。Smith G1 最初是为高斯随机曲面创建的[Smi67],现已推广到其他微表面分布[Bro80,BBS02]。假设我们可以将微表面表示为,相对于宏观表面的随机高度场,其特征是两种概率分布:p1(ξ)表示高度ξ,p22(p,q)表示微表面二维坡度 p 和 q,分别垂直和平行于入射面测量。p1可以是任何概率函数,而不改变结果。二维坡度概率 p22可以用以下关系式由 d 计算得出:(42)
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其中余弦因子是由于测量值(立体角与坡度)的变化和和投影到宏观表面引起的。对贝克曼分布来说,这很容易证明(使用 tan2θm = p2 + q2关系),p22只是一个只是标准的二维高斯分布。坡度 q 在入射面 P2中的一维分布为:(43)
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设 s(ξ0,μ)为微表面上一个高度,为ξ0的随机点从 V 方向可见的概率,其中μ为可见光的坡度(见图 16):(44)
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用射线在宏观表面上的投影距离τ来参数化射线,射线在τ处的高度为ξ0+µτ。设 g(τ)∆τ为先前未被遮挡的射线,在间隔内首先与微表面相交的分数 [τ, τ+∆τ],因此:(45)
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其中 g 的作用类似于体积渲染中的衰减系数。为了计算 g,我们假设表面高度和坡度分布是独立的,g 可以近似为:从表面上方的间隔开始的光线中,有多少部分位于表面末端的下方(因此与表面相交的位置为[τ, τ+∆τ])。如果ξ和 q 是τ处表面的高度和坡度,则射线在τ处的表面上方,如果ξ0 +µτ > ξ,则射线在τ+∆τ处的表面上方,如果( (q−µ)∆τ > (ξ0 +µτ)−ξ,则射线在τ+∆τ的表面下方。因此我们得到:(46)
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表达式中,f(z)是表面上方的概率 z,Λ是:(47、48)
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我们可以通过注意等式 46 中的分子,是其分母的导数来求解等式 45:(49)
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然后我们对所有起始高度ξ0进行积分得到 S(µ),所有起始微表面高度的平均可见度:(50)
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其中,我们使用的 f(ξ0)的导数是 P10)
最后,我们添加了一个条件,来检查 v 是否从微表面的正确一侧开始(即侧边一致性),以得到 Smith 单向阴影项:(51)
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利用这些方程,我们可以推导出任何微面分布 D 的 G1(尽管在方程 48 中的积分对某些 D 没有封闭形式的解),同时又与方程 23 一起找到相应的双向阴影掩蔽项。
通常对所有 m 需要执行另一个集成,来获得整个微表面上的平均阴影,但这对于微表面模型来说既不需要也不理想。

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14 条回复 A文章作者 M管理员
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  2. 太硬了,啃不动

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  4. 以前的大佬们是真的牛逼

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  6. 你们要听懂了 还要我研究生干嘛

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  8. 头大了,准备爆炸了

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